Noviembre

 Semana 1

FUNCIONES CANÓNICAS

Propiedades:

1. Si F(Z) = u(x,y) + iv(x,y) es analítica en algún dominio, entonces u y v  satiafacen las ecuaciones de Cauchy - Riemann para todo (x,y) del dominio.                                                                                                                                            
   
2. Si u(x,y) y v(x,y) y sus primeras derivadas parciales son continuas, y además cumple las ECR, la función F(Z) es analítica.
3. Sea F(Z) analítica en un cierto dominio, entonces u y v son armónicas, es decir, cumplen.
   
4. Semana 2

INTEGRALES DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

• En integración compleja se aplican las definiciones y propiedades tal como en la integración de funciones de variable real, excepto en funciones que son eminentemente complejas, tal como: |z| y/o zconjugado.
•  En los números reales las sumas de Riemann  

Para el caso de los complejos; como se representa  en el plano complejo, nos lleva considerar que las integrales línea sobre una curva C en el plano complejo es:

• Las integrales de línea de funciones complejas son analógicas a las de variable real de dos variables sobre curvas en el plano.
• Para las integrales cerradas se cumplen propiedades que sólo se aplican para funciones analíticas de variable compleja, tal como la integral de Cauchy.

INTEGRALES INDEFINIDAS

En el caso de que F(Z) tenga antiderivada, se puede evaluar la integral indefinida:

donde C es elemento de  C, es la constante de integración.

Semana 3

INTEGRALES DE LÍNEA

Propiedades

1. Si ϒ es una curva suave a intervalos y F(z) es una función continua.
    entonces

Observaciones

• Como x(t) y y(t) son continuas en [a,b] y suponemos que x'(t) y y'(t) existen, entonces:
  y Z'(t) diferente de cero, la curva gamma es curva suave.
  
• Se llama "CURVA SIMPLE ", aquella que no tiene puntos dobles.
• Se llama "CURVA SUAVE POR INTERVALOS", aquella que está formada por curvas suaves.
  

Para Parametrizar:

CONJUNTO SIMPLEMENTE CONEXO

D es un dominio simplemente conexo si solamente contiene puntos de D, en forma práctica que no tiene huecos.

Propiedad 6:

Sea ϒ una curva suave a intervalos de Z1 a Z2 en un dominio simplemente conexo D. Si F(Z) es analítica en D y sea F'(Z)=f(Z) en el dominio D, entonces:

INTEGRALES CERRADAS

• Se presentan lo teoremas e integrales de Cauchy, como propias de integrales de funciones complejas.

Propiedad 1 (Teorema de la integral de Cauchy)

Sea F(z) una función analítica en D, un dominio simplemente conexo y ϒ una curva cerrada simple (sin entrecruzamientos) entonces cumple.

Propiedad 2

Si F es analítica en un dominio simplemente conexo D, entonces la integral abierta de F(z) respecto de Z es independiente de la trayectoria

 

Semana 4

Propiedad 3 (Teorema de la deformación)

Sea F una función analítica en un dominio D excepto en Zo y sean ϒ y Ω curvas cerradas simples que encierran a Zo.

Propiedad 4 (Integral de Cauchy)

Si F es analítica en un dominio D simplemente conexo. Sea ϒ cualquier curva cerrada simple en D, que encierra a Zo.

• Corolario
  

Propiedad 5 (Fórmula de la integral de Cauchy para las derivadas superiores)

Si F es analítica en un dominio D simplemente conexo. Sea ϒ cualquier curva cerrada simple en D, que encierre a Zo.

• Corolario
  

Son n veces de derivación.