Diciembre

Semana 1

Series  de  Potencia 

Una serie es la suma de los elementos de una sucesión, esta se expresa así:

Donde : an = coeficiente,   n = potencia además Z y Zo pertenecen a los complejos

Criterios de Convergencia:

Semana  2:

Esta semana no se tuvo asistencia ya que fueron las fiestas Politécnicas y las Fiestas de Quito

Semana 3:

Series de Taylor

Una serie de Taylor es la representación de una función mediante una suma infinita de términos.

Estos términos se calculan a partir de las derivadas de la función para un determinado valor de la variable. Si esta serie está centrada sobre el punto cero, se le denomina serie de McLaurin.

Propiedad 1

Si f es analítica en Zo entonces  f tiene un desarrollo mediante una serie de Taylor que se representa por: 

Para todo z elemento de los complejos

Propiedad 2

La serie de Maclaurin se obtiene como una particularización de la serie de Taylor, así:

 

Maneras de desarrollar la Serie de Taylor :

1)  Derivadas sucesivas

2)  Por sustituciòn:  En este proceso se reemplaza una parte de la función por una variable, ejemplo:

3)  Por división:  Consiste en reducir la función a fracciones parciales más sencillas para hallar la forma general de la serie de Taylor a partir de una sustitución de variables.

4)  Por Derivación: Este proceso consiste en derivar una función asociada a la función que se desa expresar como serie de Taylor, ejemplo:

 

5) Por Integración: Se integra la función asociada a la que se desea expresar como serie,  ejemplo:

 

Semana 4:

Serie de  Laurent

Sea el caso de que f(z) no es analítica en Zo, entonces la serie no admite desarrollo mediante una serie de Taylor , pero admite un desarrollo por la serie de Laurent. 

Propiedad 2

Si f(z) es continua en el anillo expresado por: , entonces para z en ese anillo se expresa la serie de Laurent así:

 

La gráfica representa el anillo de la serie de Laurent de una función.

Teorema del residuo:

Si f(z) es una fracción analítica dentro y sobre la curva r exepto un numero finito de puntos singulares, zoj1, zoj2, ... pertenecientes al interior de r, entonces:

Singularidadess:

• Singularidad evitable: Si , la singularidad es removible y es posible extender analíticamente la función a todo . En este caso, la Serie de Laurent de la función alrededor de este punto tiene todos sus coeficientes de índice negativo iguales a cero. Ejemplo:  es una singularidad removible de la función , y se extiende mediante .
• Polo: Si , entonces la singularidad es un polo. En este caso, se dice que la función es meromorfa Se cumple que la Serie de Laurent de la función alrededor de este punto tiene una cantidad finita de coeficientes de índice negativo no nulos. El último índice negativo cuyo coeficiente es no nulo se llama el orden del polo. Ejemplo:  es un polo de orden 1 de la función .
• Singularidad esencial: Si  es un conjunto denso en , entonces la singularidad es esencial. En este caso, la Serie de Laurent de la función alrededor de este punto tiene una cantidad infinita de coeficientes de índice negativo no nulos. Ejemplo:  es una singularidad esencial de la función .