Octubre

Semana 1:  30 - 09- 2014 

Instrucciones de la Materia de Matemática Avanzada

Indicaciones para la creación del Blog.
Plan Microcurricular de la asignatura.

SEGUNDA SEMANA 07-10-2014

Los Número Complejos

Un número complejo es un número de la forma a + bi, donde a y b son números reales, llamados parte real y parte imaginaria respectivamente, e i es la unidad imaginaria que se define como   







Ejemplo:

x² + 9 = 0

La representación de un número complejo en el plano sería: la parte imaginaria en el eje Y  y la parte real en el eje X.

Observaciones:Sea z=a+bi

• Si Re(z)=a=0, entonces z es un imaginario puro
• Si Im(z)=b=0, entonces z es un número real

Igualdad de Complejos: 

Dos números complejos son iguales si lo son las partes reales e imaginarias respectivamente:

a+bi=a'+b'i          ⇔        a=a'    y     b=b'

Operaciones:

Suma y diferencia de números complejos

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Propiedades

• Clausurativa
• Conmutativa
• Asociativa
• Distributiva 
• Existencia del neutro multiplicativo
• Existencia del inverso multiplicativo

Producto de números complejos

(a + bi) · (c + di) = (ac− bd) + (ad + bc)i

Sea :

i⁰ = 1

i¹ = i

i² = −1

i³ = −i

i⁴ = 1

.      .

.      .

Cociente de números complejos Inverso de Complejos

Inverso de Complejos 

Dado Z=x+iy, entonces el opuesto aditivo de Z es:
-x-iy

Conjugada de un complejo

Sea z= a + bi, entonces el conjugado de Z es a-bi

 Módulo de un complejo ( r )

El ángulo se llama "Argumento de Z" y es igual al   arc tan ( b / a )

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Forma Polar de un número complejo

Sea:

El Argumento de un complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).

|

.

  La forma polar sería:    z = r_α

Inverso multiplicativo de Z 

Propiedades

•  | Z . W | = | Zl . lW|
•  |Z/W|=|Z|/|W|
•  | Z + W | <= | Zl + lWl

Forma trigonométrica de un número complejo

trigonométrica	z = r (cos α + i sen α) z = r cis α

Sea cis α = cos α + sen α i

Producto:

 Si escribimos dos números complejos:

z1=|z1|⋅[cos(α)+i⋅sin(α)]

z2=|z2|⋅[cos(β)+i⋅sin(β)]

Cuando se haga el producto, quedará:

z1⋅z2==|z1|⋅[cos(α)+i⋅sin(α)]⋅|z2|⋅[cos(β)+i⋅sin(β)]|z1|⋅|z2|⋅[cos(α)⋅cos(β)−sin(α)⋅sin(β)+ i⋅(cos(α)⋅sin(β)−sin(α)⋅cos(β))]

Sabiendo la fórmula del coseno de la suma y la del seno de la suma se obtiene:

z1⋅z2=|z1|⋅|z2|⋅[cos(α+β)+i⋅sin(α+β)]

División:

z1z2=|z1|⋅[cos(α)+i⋅sin(α)]|z2|⋅[cos(β)+i⋅sin(β)]=|z1||z2|⋅[cos(α−β)+i⋅sin(α−β)]

Potenciación:

Consideramos el producto de n números complejos en forma trigonométrica:

(|z|⋅[cos(α)+i⋅sin(α)])n=

=(|z|⋅[cos(α)+i⋅sin(α)])⋯(n)(|z|⋅[cos(α)+i⋅sin(α)])=

=|z|n⋅[cos(nα)+i⋅sin(nα)]

Esta fórmula es la que nos da la potencia enésima de un complejo en forma trigonométrica y se debe a Moivre.

Radicación:

Dado un número complejo cualquiera cuyo módulo y argumento representaremos por 

R y ϕ respectivamente, siempre tiene raíces enésimas, y precisamente el número de éste es n.

En virtud de la definición, la condición para que |z|⋅[cos(α)+i⋅sin(α)] sea una raíz enésima es:

(|z|⋅[cos(α)+i⋅sin(α)])n=R⋅[cos(ϕ)+i⋅sin(ϕ)]

Entonces, los dos números representados por el primer y segundo miembro de ésta igualdad han de ser iguales, por lo tanto, deberán tener el mismo módulo y sus argumentos deberán diferir en un número exacto de circunferencias, es decir:

|z|n=R y nα=ϕ+k⋅360∘

El módulo |z| de la raíz buscada, queda perfectamente determinado por la primera de éstas ecuaciones, ya que ha de ser un número positivo cuya potencia enésima iguale a R, así:

|z|=R−−√n

Se tiene pues que |z| es la raíz enésima aritmética de R.

En cuanto al argumento α, la segunda ecuación nos da que:

α=ϕn+k⋅360∘n

A primera vista podría parecer que α tiene infinitos valores, pero en realidad, para k=0 hasta k=n−1 se obtendraargumentos diferentes, y a partir de los siguientes k se obtiene los mismos números complejos que ya se encontro, dado que serán los mismos pero con algunas vueltas enteras más.

En resumen, todo número complejo no nulo R⋅[cos(ϕ)+i⋅sin(ϕ)] tiene n raíces enésimas distintas, cuyo módulo que es el mismo para todas (es igual a la raíz enésima aritmética del módulo R) y cuyos argumentos (salvo múltiplos de 360∘) son:

ϕn, ϕ+360∘n, ϕ+2⋅360∘n, ϕ+3⋅360∘n, … , ϕ+(n−1)⋅360∘n

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TERCERA SEMANA 14-10-2014

Función de Variable Compleja

El conjunto de salida y de llegada son los complejos.

Para encontrar la imagen de una función compleja , se lo realiza tal y como se lo realizaba en las funciones reales.

Límites

Sea f : C --> C  

           z --> f(z)

de dice que 

para el caso de los complejos cambia el entorno, aquí el entorno es un disco... y su dominio de este disco.

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CUARTA SEMANA 21-10-2014

Continuidad

Sea f : C --> C

          z --> f(z)

que f(z)es continua en zo , si cumple:

o también:

Tipos de discontinuidad

EXPONENCIALES COMPLEJOS

Fórmula de Euler

Se observa que los números complejos se los podía representar de una nueva forma, la cual era a traves de la serie de Euler.

Esto se puede representar gráficamente de la siguiente forma:

Logaritmo Complejo

Sea z=reiӨ 
ln z =ln (reiӨ)
w = ln z = ln r +iӨ   ------> Valor principal (cuando k=0)
ln z =ln r +i(Ө+2πk)------> Valor General

Propiedades

DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

La derivada de una función de variable compleja está  definida y cumple las mismas propiedades que la derivada de una función real y se define de la siguiente manera:

Propiedades de la derivación de números complejos

FUNCIÓN ANALÍTICA U HOLOMORFA

• Una función f(z) es analítica (u holomorfa) en un abierto A si posee derivada en todo punto de A.
• Cuando se dice que una función f es analítica en un conjunto S que no es abierto, quedará sobrentendido que f es analítica en algún abierto que contiene a S.
• Cuando decimos que una función es analítica en un punto z0 , la derivada debe existir en todos los puntos de algún entorno de z0
• Si una función de la forma: f(z)= u(x,y) + i v(x.y), y si cumplen las ecuaciones de  Cauchy- Riemann entonces la función es analítica y entera

ECUACIONES DE CAUCHY-RIEMANN

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son dos ecuaciones diferenciales parciales que son básicas en el análisis de funciones complejas de variable compleja, debido a que su verificación constituye una condición necesaria  para la derivabilidad de este tipo de funciones.

Sea la funcion:  f (z) = u(x,y) + iv(x,y)

Si la función f(z) es derivable en un punto zo= xo + iyo entonces deben verificarse las condiciones de Cauchy-Riemann: